De la Mecánica Cuántica a primera línea del Álgebra

En 1934, Pasqual Jordan, John von Neumann y Eugene Wigner introducen las hoy llamadas “álgebras de Jordan”. Partiendo del planteamiento clásico de la Mecánica Cuántica, que se expresa, a grandes rasgos, en términos de matrices simétricas, estos autores se proponen construir un modelo matemático alternativo que diera lugar a una teoría física más general. En su artículo original, publicado en “Annals of Mathematics”, encuentran, además de los ejemplos esperables como reflejo del citado planteamiento clásico, un álgebra de dimensión 27 excepcional.

Este trabajo despertó gran interés entre los físicos y los matemáticos. Los primeros, en busca de un álgebra de Jordan excepcional de dimensión infinita que permitiese una generalización de la Mecánica Cuántica. Los segundos, atraídos por las numerosas relaciones de las álgebras de Jordan con otros objetos matemáticos. En efecto, desde el principio del estudio de la teoría de álgebras de Jordan, éstas demostraron su utilidad en campos tan variados como la Teoría de Grupos, la Teoría de Álgebras de Lie, la Geometría Diferencial y el Análisis Funcional.

Todo ello hizo que matemáticos ilustres como Albert, Braun, Koecher, Jacobson, y Osborn dedicasen sus esfuerzos a intentar entender estos nuevos objetos y otros relacionados, surgidos en la aplicación de esta teoría. Son los llamados sistemas de Jordan: álgebras, pares y sistemas triples. Hay que destacar la introducción en los años 60 por parte de Kevin McCrimmon de los sistemas cuadráticos, caracterizados por permitir el uso de anillos de escalares arbitrarios, lo que jugará un papel fundamental en las aplicaciones posteriores de esta teoría.

Entre los años 30 y 60 se consiguió un conocimiento completo de la estructura de las álgebras de Jordan bajo ciertas condiciones de finitud análogas a las consideradas en el estudio de álgebras asociativas, pero los métodos desarrollados parecían haber llegado al límite de sus posibilidades. Los especialistas coincidían en la necesidad de planteamientos novedosos.

La revolución rusa: decepción en física y éxito en matemáticas

Las nuevas ideas vinieron de la escuela de algebristas del Instituto de Matemáticas de Novosibirsk en Siberia, en lo que Kevin McCrimmon calificó como la Revolución Rusa en las álgebras de Jordan y, fundamentalmente, se debieron a Efim Zelmanov. Las técnicas introducidas por este joven matemático, especialmente el uso de los llamados polinomios hermitianos o de Zelmanov, cristalizó a principios de los años 80 en una descripción completa de las álgebras de Jordan lineales fuertemente primas sin ninguna condición de finitud.

Para sorpresa de matemáticos y físicos, Zelmanov demostró que la única álgebra de Jordan excepcional era básicamente la de dimensión 27 encontrada por Jordan, von Neumann y Wigner en 1934, lo que cerraba las posibilidades de aplicación de esta teoría a una generalización de la Mecánica Cuántica. Afortunadamente, la decepción en Física fue compensada por las consecuencias matemáticas de este resultado y de su generalización a álgebras cuadráticas, realizada conjuntamente por McCrimmon y Zelmanov.

En efecto, la teoría de estructura de álgebras de Jordan cuadráticas juega un papel fundamental en la resolución del llamado Problema Restringido de Burnside en Teoría de Grupos, que le valió a Efim Zelmanov la medalla Fields en 1994, el más alto galardón matemático.

La Teoría de Jordan moderna

Las ideas de Zelmanov abrieron un nuevo mundo de posibilidades de estudio y aplicación de los sistemas de Jordan. En particular permitieron el desarrollo de teorías de estructura infinito dimensionales para sistemas primitivos, simples y fuertemente primos, que han dado lugar a la resolución de problemas longevos.

En lo que se conoce como teoría moderna de Jordan el Grupo de Sistemas de Jordan de la Universidad de Oviedo ha jugado un papel muy destacable. El equipo de investigación está constituido por José Ángel Anquela y Teresa Cortés, de la Universidad de Oviedo, Esther García, de la Universidad Rey Juan Carlos, aunque formada en la Universidad de Oviedo, y, desde hace siete años, Kevin McCrimmon, de la Universidad de Virginia.

A los mencionados investigadores se deben, por ejemplo, las clasificaciones de los sistemas de Jordan primitivos (uno de los trabajos más citados en la teoría de Jordan), mejoras sustanciales en las clasificaciones de sistemas simples y fuertemente primos y, recientemente, la resolución del problema de la simplicidad de los ideales minimales, planteado por Zhevlakov en 1971, publicada en “Inventiones Mathematicae” (una de las revistas matemáticas de más alto índice de impacto).

En cuanto a aplicaciones recientes, podemos destacar el uso de técnicas Jordan en el estudio de álgebras de Lie infinito dimensionales, una línea de investigación liderada por Esther García, iniciada en la tesis doctoral realizada en la Universidad de Oviedo por esta joven investigadora.

En los trabajos mencionados se mantiene una estrecha comunicación y cooperación con investigadores destacados de todo el mundo entre los que podemos destacar a Bruce Allison, Ottmar Loos, Erhard Neher, Holger Petersson, Ivan Shestakov y Efim Zelmanov.